Original English version: http://www.math.harvard.edu/~ctm/expositions/html/interview.html
av Anne-Marie Oreskovich og Dmitry Sagalovskiy
Q: Hvor lenge har du vært på Harvard?
M: A og et halvt år hvis du ikke telle mine graduate student dager.
Q: Så du var utdannet student her?
M: Høyre.
Q: Og hvor var du en undervisning?
M: Jeg var på Williams College i Western Massachusetts, og da jeg tilbrakte et år i Cambridge, England.
Q: Hvor er du fra?
M: Det er liksom et vanskelig spørsmål å besvare. I utgangspunktet vokste opp i Charlotte, Vermont, men jeg ble faktisk født i Berkeley, California. Vi flyttet rundt litt også, men jeg tenker på meg selv som fra Vermont.
Q: Så kan du fortelle oss litt om medaljen?
M: Jeg tror det ble startet i 1930-årene. Den ble etablert av en kanadisk, Fields, og jeg vet at Ahlfors og Douglas fikk de to første. Det har gitt hvert fjerde år på ICM, og i de senere år har de vært å gi det til tre eller fire personer. Så la oss se, hvem andre fikk det i år? Kontsevich, Gowers, og Borcherds. Egentlig alle av dem bortsett Gowers har brukt tid i Berkeley, som er der jeg var for de siste syv årene før jeg kom hit. Så jeg visste både Borcherds og Kontsevich fra Berkeley.
Q: Hvor var du når du finner ut?
M: Jeg var her. Du finner ut et par måneder i forveien, og det er ment å holdes hemmelig inntil selve dagen av seremonien. Så egentlig jeg ikke si det til noen, som var ganske vanskelig, fordi det var rykter, og jeg vil hele tiden må nekte dem.
Q: Kan du fortelle oss litt om hva forskningen var på som ga deg medaljen?
M: La meg begynne med retning av min forskning. Først skrev jeg min avhandling ved Harvard, men jeg gjorde ikke arbeide med en Harvard-professor. Jeg hadde gjort noen datamaskin arbeid med David Mumford på Kleinian grupper før jeg ble uteksaminert, og jeg ble interessert i faget. Men jeg faktisk endte opp med å skrive min avhandling med Dennis Sullivan, som på den tiden var en professor ved City University i New York og IHES på Frankrike. Så jeg var veldig heldig som Mumford introduserte meg til ham i det siste året av min graduate karriere, slik at jeg hadde ingen rådgiver og ingen avhandling emne. Og jeg dro til Frankrike og jobbet med Sullivan på IHES for et semester, og jeg møtte Steve Smale det som ga meg denne fine avhandling problem på å løse polynomlikninger ved iterasjon.
Du har sikkert hørt om Newtons metode for å løse polynomer. Hvis du bruker Newtons metode for en kubisk polynom, kan det ikke fungere. Du kan sette seg fast under en lokal minimum. Og hvis du endrer startverdi litt, det kan fortsatt ikke konvergere til en rot. Så Newtons metode er ikke pålitelig for å løse polynomlikninger. Problemet jeg jobbet på var hvorvidt det var noen algoritme som Newtons metode, med gjentakelse av bare en rasjonell funksjon, som sikkert kan løse polynomlikninger. Jeg var i stand til å bevise at svaret er nei for grad 4 eller mer, og faktisk fant jeg en ny algoritme for å løse cubics, som er pålitelig.
Da gikk jeg til MSRI og var ved MIT for et semester, så Princeton i fire år. Peter Doyle og jeg jobbet i Princeton på å løse femtegradsligninger, og vi fant denne vakre uventet algoritme for å løse quintic polynomer. Men det er ikke motsagt av oppgaven fordi det er et tårn av gjentakelser; det vil si iterere du en rasjonell funksjon, ta ting som det konvergerer, og plugge den inn i en annen.
Som du kanskje vet, løse femtegrads er bundet opp med Galois gruppe A5, og det faktum at A5 er en enkel gruppe. Dette ble brukt av Galois å bevise at du ikke kan løse femtegradsligningen av radikaler.
Det viser seg at for å kunne løse en ligning ved hjelp av en gjentok rasjonell kartet, hva du trenger å gjøre er å finne en rasjonell kart hvis symmetri gruppen er Galois gruppen av polynomet. Nå er det bare et lite sett med grupper som kan være symmetri grupper på Riemann sfære, og de interessante de kommer fra platonske faste stoffer. Så en fem, symmetrien gruppen av dodecahedron, er den mest kompliserte man kan få. Vi brukte denne rasjonelle kartet med A5 symmetri for å gi en ny algoritme for å løse femtegradsligningen pålitelig. Og av samme token, siden S6 eller A6 fungerer ikke på Riemann sfære, er det ingen tilsvarende algoritme for å løse ligninger av grad 6 eller mer. Så det var min første forskningsområde: løse polynomer, og dynamikken i rasjonelle kart. link
Nå, det neste jeg jobbet på da jeg var på Princeton var Thurston teori om hyperbolske 3-mangfoldigheter. Thurston har et forskningsprogram, som har vært svært vellykket, for å prøve å finne en kanonisk geometri for tredimensjonale objekter. For eksempel, hvis du forestille deg at du har noen manifold, er som i hemmelighet en 3-sfære, hvis du kunne liksom finne en runde beregning på det, så ville du plutselig gjenkjenne det som 3-sfæren. Så hvis du kan finne en beregning som gir manifolden god form, så kan du gjenkjenne hva manifolden er. Det viser seg at de fleste tredimensjonale manifolder innrømme disse beregningene, men beregningene er ikke positivt buet som 3-sfæren, de er negativt buet. For eksempel, hvis du tar utsiden av en knute i S 3En knute komplement, så er det nesten alltid innrømmer en av disse såkalte hyperbolske beregninger med konstant negativ krumning. På grunn av at det nå dataprogrammer, hvor du kan bare trekke en knute på måfå med en mus, og klikk, og innen ett eller to sekunder vil den fortelle deg nøyaktig hva knot det er. Og hvis du gir den to knop, vil det umiddelbart gjenkjenne hvorvidt de er de samme knute. Dette er fantastisk fordi problemet klassifisere knop var klassisk ekstremt vanskelig å løse.
Mens på Princeton Jeg har funnet en ny, analytisk bevis for Thurston teorem som gir hyperbolske strukturer på mange 3-manifolder, inkludert de fleste knute utfyller. Denne nye bevis har å gjøre med Poincaré serie, en klassisk emne i kompleks analyse, og det kan også føre til løsning av conjectures av Kra og Bers. Senere på Berkeley begynte jeg å se paralleller mellom teori av 3-manifolder at fiber over sirkelen; dette emnet er utarbeidet i 2 bøker som dukket opp i Princeton “Annals of Math. Studies”. The Fields medaljen var, jeg forestille seg, i erkjennelse av disse prosjektene.
Så jeg jobbet på dynamikken i rasjonelle kart, og jeg jobbet på hyperbolske 3-manifolder, og jeg jobbet på Riemann overflater per se, og jeg har også jobbet på topologien av overflater og knop. Og ting jeg ønsker å understreke er at for meg alle disse feltene er egentlig det samme feltet. Du veldig lett begynne å jobbe på et problem i dynamikk, og finne deg selv et par måneder senere arbeider på et problem i knute teori eller topologi, fordi de er alle veldig sammen – knop, kompleks analyse, polynomer, Riemann overflater, hyperbolske 3-manifolder, etc. det er egentlig ikke et navn på dette feltet, men det er det feltet jeg jobber i.
Q: Så du har vært på uten tvil de fire beste skolene i USA for matematikk: Princeton, Berkeley, MIT og Harvard. Kan du sammenligne og kontrast dem i form av atmosfæren, vennlighet, tempo folk jobber på, etc., for studenter som tenker på å gå på å oppgradere skolen?
M: De er veldig forskjellige. La meg la ut MIT, fordi jeg bare brukt et semester der. Princeton er en veldig bra avdeling, men byen er litt prippen og kjedelig for en ung person. Den har den høyeste tettheten av folk fra “hvem som er hvem”, og det er veldig kultivert. Det er ikke noe uventet gang skjer. Så det ser ikke ut veldig livlig for meg. Men jeg var ikke der som en graduate student. Princeton er et flott sted å gå til hvis du vet at du ikke kommer til å være der for alltid. Jeg ser tilbake svært fondly på mine år ved Princeton.
Princeton og Harvard både behandler sine hovedfagsstudenter svært godt. Det er et bra forholdet mellom antall studenter per fakultet. Studentene er godt finansiert, avdelinger er små nok til at elevene får mye individuell oppmerksomhet. Og jeg tror elevene lærer mye av hverandre i begge steder. Det er en stor del av høgare utdanning.
Berkeley er også veldig flott. Det er et sted som har en stor avdeling, ett hundre fakultet hvis du teller emereti. Jeg likte det, men det tar mye energi for å finne et godt sted å leve, å finne en god rådgiver, og for å komme inn i riktig nisje, matematisk og så videre. Men som du gjør det, lønner det deg tilbake veldig mye. Og været er vakkert. Du kan gå fra campus til Strawberry Canyon deretter inn Tilden Park, og være helt ute av menneskesyn innen 40 minutter. (At Harvard, på den annen side, fant jeg at jeg kunne sykkel for en time, og fortsatt være i suburbia …) I Berkeley svømmebassenger er utendørs, det er veldig livlig, og det er også veldig tolerant – til alle slags forskjellige livsstiler, forskjellige typer mennesker. Du føler en følelse av frihet. Du føler ikke noen skrupler om å prøve ut en ny idé, og ikke bekymre deg så mye om hvorvidt det kommer til å fungere. En av de store tingene om Berkeley er at det er så mange hovedfagsstudenter, og så mange postdoktorer i området, spesielt med MSRI, at du kan ha en arbeidsgruppe på noen matematisk emne du kan tenke på. Det er mye av matematisk interesse der.
Jeg likte å være utdannet student ved Harvard også. Cambridge og Berkeley begge har fordeler fremfor Princeton, i den forstand at de er unge miljøer, er det mye å gå på, de er i nærheten av en storby. Du kan fortelle litt fra min utdannet erfaring at selv om jeg tror Harvard er virkelig stor, kanskje det faktum at fakultetet er liten gjør det vanskelig å finne en rådgiver som er i det området du ønsker å jobbe i. Og jeg tror at virkelige nøkkelen til suksess i gradsstudier er å finne noe som du er interessert i nok til å holde deg gående i fire eller fem år.
Q: Hvorfor valgte du å komme til Harvard fra Berkeley?
M: Jeg først kom som en besøkende. Og jeg fant det veldig gøy å lære her. Ved Berkeley klasser for studenter er ofte svært store, og det var bare veldig givende å ha disse virkelig gode studenter i en liten klasse. Og jeg likte det faktum at avdelingen er liten nok til at det er lett å bli kjent med andre fakultet medlemmer. Og selvfølgelig, siden jeg var utdannet student her, jeg har alltid sett opp til Harvard som dette fantastiske stedet. Faktisk fant jeg det vanskelig å forestille seg å være en professor her, så jeg ønsket å utforske hva det ville være. Jeg liker det faktum at mine interesseområder er forskjellig fra, men overlappende med de av andre mennesker i avdelingen. Jeg er veldig interessert i en masse ting andre mennesker gjør her. Så for meg, på en måte, det kan jeg fortsette min utdannelse.
Q: Men ikke dette redusere mulighetene for samarbeid med andre fakultet medlemmer?
M: I det første stedet jeg reiser ganske mye, så jeg ser folk som er i mitt felt i Frankrike, eller i Stonybrook, eller andre steder. Imidlertid er det meste av forskningen gjort på egen hånd, Jeg gjør mitt beste for forskning av meg selv. Det er veldig nyttig å kunne kjøre et argument av en ekspert på området, men jeg har egentlig ikke savner å ha noen som er akkurat i mitt felt å samarbeide med. Jeg må innrømme, det var en tøff avgjørelse å komme hit. Jeg savner bor i Berkeley, og jeg kan tilbringe et sabbatsår der.
Q: Ser du deg selv som en renessanse matematiker i den forstand at arbeidet omfatter et bredt spekter av områder i matematikk?
M (ler): Nei, jeg ser meg selv mer som en dilettant, noen som dabbles på mange forskjellige områder, og er interessert i mange forskjellige ting; Jeg absolutt ikke ville si en renessanse matematiker. Nå, jeg liker mange forskjellige typer matte, og jeg liker å jobbe med noe jeg ikke er ekspert på og lære om det emnet. Dette feltet har jeg beskriver er virkelig flott på den måten, fordi det er så bred at den får kontakt med mange forskjellige typer av matematikken. Da jeg kom til Harvard, fant jeg ut at for mye av teorien (som Hodge teori om komplekse mangfoldigheter, etc.), gjorde jeg egentlig ikke forstår det, og jeg var ikke veldig motivert for å studere den. Så jeg startet med en gjenstand jeg kunne lære veldig bra: en reell variabel.
Jeg tok en reell analyse selvfølgelig når jeg var en student; Jeg gikk til Stanford for et år og tok en stor reell analyse kurs fra Benjamin Weiss som var en professor fra Jerusalem. Og som virkelig fikk meg begeistret for analyse. Så gikk jeg tilbake til Williams og jeg jobbet tett med Bill Oliver. Han var svært innflytelsesrike i mitt matematisk utdannelse; det var han som jeg først hørte denne ideen om å bruke ordbøker i matematikk for å bruke som en slags analogi mellom ulike felt eller ulike teoretiske utviklingen for å prøve å lede arbeidet mitt. Så de var mine tidlige påvirkninger.
Da jeg kom til Harvard, og jeg ble liksom kastet om. Jeg visste hvordan å dataprogram – jeg hadde jobbet i sommer på IBM-Watson i Yorktown Heights – og Mandelbrot og Mumford ble nesten samarbeidet; Mandelbrot ble møblering tilgang til datamaskiner ved Yorktown Heights til Mumford, som var tegning disse vakre bilder av grenseverdier sett Kleinian grupper. Som noen som var fortrolig med dataverdenen ved Yorktown, jeg begynte å jobbe for ham som hans dataprogrammerer, hjelpe ham trekke disse bildene, og så videre. Du må forestille seg, i de dager, måtte vi gjøre en lang avstand modem samtalen og deretter arbeide på 30 tegn per sekund terminal skrive programmer i FORTRAN. Da vi skulle tegne et bilde, og vi måtte vente en uke for dem å sende det til oss fra Yorktown for å se om det kom ut rett.
Så fikk jeg interessert i Hausdorff dimensjon, og siden jeg visste at noen reell analyse, prøvde jeg jobber med det. Min første papir noensinne var på et problem jeg lærte da jeg først møtte professor Hironaka, som var en Harvard-professor på den tiden, selv om han hadde vært på permisjon i Japan. Da han først kom tilbake fra Japan, fortalte han meg dette spørsmålet som han ikke hadde vært i stand til å løse, som var å beregne fraktale dimensjon av et bestemt sett. Dette settet oppnås ved å tegne bokstaven “M” og gjenta den samme figuren, som vist her.
Til slutt får du et sett med er ikke selv lignende, men det er selv affine. Fraktaler hvis dimensjoner er lett å beregne har den egenskapen at hvis du tar en liten bit og re-skala det med samme faktor i begge dimensjoner, ser det ut som et større stykke. Denne har den egenskapen at en svært lite gap kan skaleres til stort gap, men du må skalere ved en strøm av to i én retning og med en kraft av tre i den andre, på grunn av at det er dimensjon er vanskelig å beregne. I min første forskning papir, jeg beregnet det dimensjon: D = log2 (1 + 2 log 3 2 ). Det var en fantastisk problem; Jeg jobbet på det svært vanskelig. Du kan se at jeg likte å bo nær bakken matte jeg virkelig forstått.
Så begynte jeg å få mer interessert i komplekse dynamikk, så jeg gikk til en kompleks variabel fra en reell variabel; Jeg bodde alltid nær ting jeg virkelig kunne forstå. Så nå, tolv år etter at min Ph D., jeg endelig skrive en oppgave som har å gjøre med Kähler geometri.; og jeg absolutt ikke føler deg komfortabel med Kähler beregninger da jeg var student. Jeg måtte ikke bare jobbe opp til temaene, men også se en indre motivasjon for å komme til dem, heller enn å ha dem plopped i en “vel dette er hva vi kommer til å lære neste” -manner.
Spørsmål: Hva var den “ordboken analogi” som du snakket om?
M: Min største matematiske innflytelse var min veileder, Dennis Sullivan. Ikke bare var han min veileder, men da han fortsatt var på IHES i Frankrike, ville vi bruke et par måneder sammen hver sommer der, og jeg ville gå til hans seminar fra New York eller Princeton. Han er professor i Stony Brook, NY nå, og jeg prøver å besøke det en gang i året.
Sullivan oppfunnet en vakker ordbok mellom rasjonelle kart og Kleinian grupper. Et rasjonelt kart er et kart over Riemann sfære til seg selv gitt ved kvotienten av to polynomer; for eksempel x2 + c, hvor polynomet i nevneren er 1. Det interessante å studere er gjentakelse av disse kartene. Når man har en kompakt hyperbolsk 3-manifold, svinger dens universelle deksel seg å være det faste stoffet (åpen) 3-ball. Kvotienten av den 3-ball ved hjelp av virkningen av den grunnleggende enhet av den opprinnelige manifolden er manifolden på nytt. Det 3-ball kan compactified ved å legge sin grense i R3, nemlig kulen S2 .Gruppen virkning på 3-ball strekker seg til grensen S2 som Möbius transformasjoner (dvs. kart av formen (az + b) / (cz + d)). Dette kalles en Kleinian gruppe. Legg merke til at vi begynte med å vurdere en 3-dimensjonal manifold og vi endte opp med et dynamisk system på kula. Dette er hvordan de to fagene er tilkoblet. Det er mange teoremer med tilkoblingen eksplisitt. Jeg skrev en oversiktsartikkel ( “Klassifisering av konforme dynamiske systemer”) for Yau konferanse som la ut ikke bare denne ordboken, men et forskningsprogram for å bevise resultater basert på den. Forstå og utvikle denne ordlisten har vært en stor motivasjon i arbeidet mitt. For eksempel er en stor luke i ordboken reversere prosessen jeg beskrev – hvis vi får en dynamisk system på kula, ingen vet hvordan du finner en tredimensjonal gjenstand assosiert til det. Det er mye igjen å gjøre på dette spennende feltet!
Q: Hvor holder du din Feltet medalje? Har du holde det hjemme?
M (ler): Jeg kan ikke avsløre denne informasjonen!
Spørsmål: Hva var situasjonen da du vant Fields-medalje? Hvordan føltes det?
M: Min første reaksjon var en av komplett forbauselse; Jeg var virkelig forferdet. Jeg trodde faktisk jeg var ikke kvalifisert, i form av alder. Jeg visste også så mange flotte matematikere her, og på Berkeley, og andre steder, at jeg ikke kunne tro at jeg hadde blitt valgt. Også i 1991 vant jeg Salem prisen, som er en premie i Analyse; Jeg var glad for å bli anerkjent på den måten fordi jeg virkelig elsker feltet – det var min første, som matematiker. Faktisk hadde jeg skrevet min mindre avhandling som en graduate student på Salem tall, og denne prisen er til ære for Raphael Salem, så det har personlig betydning for meg. Jeg hadde aldri forventet å få noen anerkjennelse av den slags, så jeg følte jeg hadde allerede hatt min andel av anerkjennelse. (Jeg var like overrasket over at jeg fikk et tilbud fra Harvard,. Så igjen, jeg visste ikke hva jeg skal si)
Dette bringer tankene er et ordtak av Lipman Bers, som var en av mine mentorer; Han sa: “Matematikk er noe vi gjør for begrudging beundring av noen få nære venner.” Jeg tror det er en god beskrivelse av matematikk; du ikke forvente mer enn det, fordi tilfredsstillelse av matematikk er virkelig en personlig ting. Så jeg føler meg veldig heldig som har blitt valgt for anerkjennelse av Fieldsmedaljen komiteen.
En av de fantastiske ting om matematikk er at samfunnet er ganske liten. Da jeg dro til Berlin for å motta denne prisen, mange mennesker jeg kjente godt fra gjennom årene var til stede – et fantastisk internasjonalt fellesskap av venner av meg. Det var virkelig en fin ting.
Q: Hvor var du i stand til å inneholde spenning?
M: Vel, det som skjedde var, jeg var så forferdet at jeg raskt glemte det, fordi jeg ikke kunne virkelig tro det. Og så hver gang på en stund, vil jeg huske. Og jeg tror, som virkelig kan ikke være sant (ler), og selvfølgelig ville jeg har ingen måte å kontrollere, siden det måtte være en hemmelighet.
Q: Er det noe annet du ønsker å dele med oss om medalje?
Egentlig har jeg en historie om da jeg kom tilbake fra Berlin. En sikkerhetsvakt på flyplassen kjører metalldetektor stoppet meg da min ryggsekk gikk gjennom maskinen. Hun sa: “Unnskyld meg, hva har du i sekken din her?” Jeg sa: “Det er en gullmedalje.” Hun sa, litt tvilende, “Mmm hmm.” Så jeg tok den ut av min pakke. Litt chagrined, sa hun “Åh, veldig hyggelig; er den din?”Jeg sa‘Mmm hmm!’